“LA TEORÍA DEL CAOS”

En la Historia de la ciencia el descubrimiento del primer sistema caótico es atribuido a Lorentz en 1963:

El primer descubrimiento de un sistema caótico fue realizado por Edward Lorentz, un meteorólogo del MIT, que se vio obligado a interrumpir un largo cálculo por ordenador sobre patrones meteorológicos. En vez de empezar de nuevo el cálculo desde el principio, almacenó algunos resultados intermedios del cálculo original del ordenador, luego los cargó de nuevo para que el ordenador siguiera trabajando a partir de donde había parado. Para su sorpresa, el resultado que obtuvo de esta forma fue muy diferente del resultado que había obtenido previamente realizando los cálculos de una sola vez.

Descubrió que las diferencias entre los dos juegos de cálculos era debida a que el ordenador redondeaba los números de una forma ligeramente distinta cuando los almacenaba que cuando seguía usándolos en los cálculos. El error de redondeo en el ordenador producía una diferencia en la octava cifra decimal en los números relevantes. Éste fue nuestro primer indicio de que los sistemas importantes en la Naturaleza, como los atmosféricos, pueden ser extremadamente sensibles a los pequeños cambios (Trefil, 1993; pp. 263-264)

Principios constitutivos de la Teoría del Caos

La Teoría del Caos puede ser ilustrada a partir de cuatro principios que constituyen su núcleo teórico base:

(a) Los sistemas caóticos son no lineales: en una ecuación lineal una cosa cambia en proporción directa a otra, pero en un sistema no lineal no se mantiene este tipo de relación.

(b) Un sistema caótico es uno en el que el resultado final depende muy sensiblemente de las condiciones iniciales: la variación más pequeña en las condiciones iniciales de un fenómeno puede desencadenar grandes cambios en el resultado final del fenómeno (efecto mariposa).

(c) Los sistemas caóticos son deterministas: a pesar de la aparente contradicción que puede acarrear este principio, más que nada por la visión de sentido común que se tiene del caos, es necesario reconocer que en los sistemas caóticos existe algo que determina su comportamiento en un tiempo y en un espacio preciso, para esto Ruelle y Takens en 1971 (citados por Gutiérrez, 1998) propusieron la teoría del atractor extraño.

(d) El comportamiento caótico no puede predecirse: es literalmente imposible medir las condiciones iniciales de un sistema, simularlas con un ordenador tal vez, pero no medirlas y menos con una perfecta exactitud, por lo que sus estados futuros nunca podrán ser predichos.

Para una mejor comprensión de estos cuatro principios es necesario definir dos conceptos que aparecen recurrentemente en las discusiones y aplicaciones de la Teoría del Caos: atractores y fractales.

Atractores

Del estudio del caos emergió paradójicamente una explicación del proceso de formación espontánea de orden en un sistema dinámico complejo. Científicos que estudiaban el caos (la ausencia de orden) notaron que cuando se juntaban suficientes elementos complejos interactuantes, en vez de crearse caos, tendía a formarse un orden espontáneo como consecuencia de la interacción.

Según esta metáfora el orden en un sistema interconectado de elementos, se forma en torno a los que se denominan ‘atractores’ que ayudan a crear y sostener en forma estable patrones o configuraciones dentro del sistema. Estos ‘atractores’ forman una especie de ‘paisaje’ que da forma y determina los patrones de interacción dentro del sistema.

Un atractor es el conjunto de puntos hacia los cuales tiende un sistema dinámico tras un número elevado -infinito sería el ideal- de iteraciones, el apellido caótico le viene por su gran sensibilidad a variaciones en las condiciones iniciales y a que los valores obtenidos nunca se repiten exactamente (Díaz, 2003, pg.1).

Fractales

Los Fractales son los objetos matemáticos que constituyen la Geometría de la Teoría del Caos. Los sistemas caóticos y dinámicos fueron conocidos y descubiertos mucho antes que los Fractales. De hecho se pueden encontrar y reconocer figuras con características fractales como la del triángulo de Sierpinski en grabados de tela de hace varias décadas atrás, hasta en los años de 1400 se hallaron grabados japoneses con estas estructuras (Braña, 2002; pg.2).

Un objeto fractal es aquél que posee dos características básicas:

a) Autosimilitud: un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el todo. “Cada porción de un objeto tiene las mismas características del objeto completo. También se puede decir que cada área de un fractal conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales” (Braña, 2002; pg. 7).

b) Dimensión fractal: los fractales son objetos cuya dimensión es fraccionaria. “La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot proviene del latín y significa roto, quebrado” (Braña, 2002; pg. 6). Esta situación permite afirmar que un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera a su dimensión topológica.

A partir de esta pequeña introducción se describirá ampliamente lo Que es la Teoría del Caos y se pondrán algunos ejemplos en juego para que esta quede ampliamente demostrada

La teoría de las estructuras disipativas, conocida también como teoría del caos, tiene como principal representante al químico belga Ilya Prigogine, y plantea que el mundo no sigue estrictamente el modelo del reloj, previsible y determinado, sino que tiene aspectos caóticos. El observador no es quien crea la inestabilidad o la imprevisibilidad con su ignorancia: ellas existen de por sí, y un ejemplo típico el clima. Los procesos de la realidad dependen de un enorme conjunto de circunstancias inciertas, que determinan por ejemplo que cualquier pequeña variación en un punto del planeta, genere en los próximos días o semanas un efecto considerable en el otro extremo de la tierra. La idea de caos en la psicología y en el lenguaje.

Efecto mariposa y caos matemático.- El "efecto mariposa" en principio está relacionado entre causas y efectos pueden examinarse desde dos puntos de vista: cualitativo y cuantitativo. Desde la primera perspectiva, las relaciones causa-efecto pueden ser concebidas de varias maneras:

a) como vínculos unidireccionales: A causa B, B causa C, etc., pero los efectos resultantes no vuelven a ejercer influencia sobre sus causas originales;

b) como eventos independientes: no habría ni causas ni efectos: cada acontecimiento ocurriría al azar e independientemente de los otros.

c) como vínculos circulares: A causa B, y B a su vez causa A, es decir, el efecto influye a su vez sobre la causa,.

La teoría del caos, en la medida en que considera que existen procesos aleatorios, adopta la postura (b), pero en la medida en que dice que ciertos otros procesos no son caóticos sino ordenados, sostiene que sí, que existen vínculos causales.

Desde el punto de vista cuantitativo, las relaciones entre causa y efecto pueden ser categorizadas de diferente manera.

Causa-efecto: relaciones cuantitativas.- Si examinamos las posibles relaciones cuantitativas que pueden existir entre causas y efectos, las alternativas podrían ser las siguientes:

a) Causas y efectos son razonablemente proporcionales: pequeñas causas producen pequeños efectos, y grandes causas grandes efectos

b) Una causa pequeña produce un gran efecto

c) Una causa grande produce un pequeño efecto.

Los seres humanos tendemos inevitablemente a creer en alguno de estos supuestos en la vida cotidiana, y por motivos muy diversos. Detrás de toda creencia hay un deseo, que es quien le da su intensidad, su persistencia, su razón de ser. Así, la creencia en una desproporción causa-efecto del caso b) oculta un deseo de poder: la ilusión de que con muy poco se puede lograr mucho. Está en la base de muchas supersticiones, De modo parecido, la creencia en una proporcionalidad razonable entre causa y efecto del caso a) podría protegernos de la incertidumbre: sabemos seguro que después de la causa vendrá un efecto esperado y controlable, y no hay lugar para sorpresas desagradables. Así también, la creencia en una desproporción como la del caso c) puede esconder la ilusión de aliviar culpas propias:

Causas pequeñas, grandes efectos.- El sentido común prescribe una cierta proporción entre la causa y el efecto: una fuerza pequeña produce un movimiento pequeño, y una fuerza grande, un gran desplazamiento. El psicoanálisis invoca la misma idea para justificar la idea de que una terapia breve produce pequeños cambios, y de que un tratamiento prolongado genera cambios más importantes. Ejemplos:

a) Efecto palanca: más allá de la metáfora, si uno tiene alguna palanca puede conseguir muchas cosas: "dadme una palanca y moveré el mundo", había dicho el griego. Un simple movimiento de palanca es una causa pequeña, pero puede producir grandes efectos. Las palancas, así como las poleas o las prensas hidráulicas, son dispositivos capaces de multiplicar varias veces un efecto, con el consiguiente ahorro de esfuerzo muscular.

b) La conversión masa-energía: Según lo prescribe el principio de equivalencia masas-energía de Einstein, una pequeñísima porción de masa, bajo ciertas condiciones puede liberar enormes cantidades de energía. Ya en la física pre-einsteniana también se hablaba de cosas parecidas, en el contexto del concepto de energía potencial: una pequeña causa (soltar una piedrita a 3000 metros de altura), produce un efecto desastroso sobre la cabeza del que está abajo, considerando que la aceleración aumenta según la ley de la gravitación y sin considerar los efectos de rozamiento del aire.

c) Efecto mariposa.- Tal como fuera descripto originalmente en la meteorología, suele expresarse en frases del siguiente tipo: "El aleteo de una mariposa que vuela en la China puede producir un mes después un huracán en Texas" (¿tal vez una metáfora de la expansión económica japonesa en detrimento del capitalismo occidental?). Otros ejemplos podrían ser el que dijo Einstein, aunque fue más romántico: "Hasta la más pequeña gota de rocío caída del pétalo de una rosa al suelo, repercute en la estrella más lejana".

Teoría del Caos y su relación con la Matemática

Poincaré: un precursor.- Ya en 1908, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) había ensayado con sistemas matemáticos no lineales, habiendo llegado a ciertas conclusiones que, andando el tiempo, habrían que ser un importante antecedente histórico y conceptual de la teoría del caos.

Poincaré partió del esquema laplaceano según el cual, si conocemos con exactitud las condiciones iniciales del universo, y si conocemos con exactitud las leyes naturales que rigen su evolución, podemos prever exactamente la situación del universo en cualquier instante de tiempo subsiguiente. Hasta aquí, todo bien, pero ocurre que nunca podemos conocer con exactitud la situación inicial del universo, y siempre estaríamos cometiendo un error al establecerla. En otras palabras, la situación inicial del universo sólo podemos conocerla con cierta aproximación. Aún suponiendo que pudiéramos conocer con exactitud las leyes que rigen su evolución, nuestra predicción de cualquier estado subsiguiente también sería aproximada. Hasta aquí tampoco habría problema y podríamos seguir manteniendo el esquema determinista ya que lo aproximado de nuestras predicciones no serían adjudicables a un caos en la realidad sino a una limitación en nuestros conocimientos acerca de las condiciones iniciales. Efectivamente, los deterministas alegan que no es que los acontecimientos sean imprevisibles, sino que simplemente aún no hemos descubierto las leyes que permitan preverlos.

Sin embargo, Poincaré jugará con una hipótesis que le sugirieron ciertos sistemas matemáticos especiales: dirá que un pequeño error en las condiciones iniciales, en vez de provocar también un pequeño error en las últimas, provocaría un error enorme en éstas, con lo cual el fenómeno se vuelve impredecible y entonces lo adjudicamos al azar. Desde ya, este efecto multiplicativo del error no es debido a nuestra ignorancia o a nuestro limitado conocimiento de lo real, sino a la misma configuración de la realidad, que admite ese tipo de evoluciones erráticas. En una mesa de billar con forma cuadrada, podemos predecir la trayectoria de una bola arrojada contra una banda, pero...lo mismo no ocurre así si la mesa tiene forma de estadio. En este caso, la trayectoria se torna impredecible.

Lorenz: la perplejidad de un meteorólogo.- El efecto descripto por Poincaré se reactualiza en la década del 60, por obra y gracia del meteorólogo y matemático norteamericano Edward Lorenz. Su perplejidad tenía mucho que ver con la imposibilidad de pronosticar fenómenos climáticos más allá de un cierto número de días, y no era para menos, toda vez que lo que uno espera de un meteorólogo son, precisamente, predicciones acertadas. A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que utilizaba estaba fallando: pequeños cambios en las condiciones iniciales producían diferencias asombrosas en el resultado, con lo cual las predicciones meteorológicas a mediano o largo plazo resultaban imposibles. La tradicional certeza de la matemática no podía compensar la tradicional incertidumbre de la meteorología, ya que el virus de la incertidumbre había invadido el mismísimo cuerpo de la madre de las ciencias exactas. Si la misma matemática permite que de pequeños cambios iniciales se produzcan al final grandes cambios, entonces toda otra ciencia que, como la meteorología, intente fundarse en la matemática, habrá de pronosticar grandes catástrofes a partir de pequeñas alteraciones ambientales. Fue así que nace el “efecto mariposa”, que habla de pequeños cambios (el aleteo de una mariposa en Pekín) con grandes consecuencias (un huracán en Arizona).

Caos en la matemática y la psicometría.- Lorenz, hemos dicho, había detectado sistemas caóticos dentro mismo de la matemática al advertir que pequeñas variaciones iniciales generaban grandes cambios en el resultado. Investigaciones posteriores en esta misma disciplina fueron revelando nuevos aspectos de la misma cuestión. Tomemos dos ejemplos en los cuales pueden advertirse situaciones aparentemente caóticas, siempre dentro del dominio de la matemática.

Ejemplo 1) En 1976, el físico norteamericano Mitchell Feigenbaum advirtió que cuando un sistema ordenado comienza a evolucionar caóticamente, a menudo es posible encontrar una razón específica de la misma: una figura cualquiera se dobla una y otra vez y va complejizándose progresivamente.

El ejemplo típico son los fractales, estructuras geométricas donde cada parte es una réplica del todo. El ejemplo más sencillo (si bien no es de Feigenbaum sino que corresponde al llamado conjunto de Cantor) es un segmento de recta (elemento de partida o iniciador) que se divide en tres partes iguales. Quitamos el segmento central y unimos los dos restantes, y con cada uno de estos últimos repetimos la operación indefinidamente, hasta que el segmento original queda subdivido en segmentos cada vez más pequeños, que son una réplica del segmento mayor (cada parte es una réplica del todo). Feigenbaum descubrió también que, luego de cierto número de operaciones de doblaje (en el ejemplo, de dividir el segmento en tres y separar el central uniendo el resto), el sistema adquiere cierto tipo de estabilidad. Esa constante numérica, llamada el número de Feigenbaum, puede aplicarse a diversos sistemas caóticos, incluso los que aparecen en la naturaleza, como podría ser el crecimiento de las hojas en un árbol, o el despliegue de un relámpago. Todo estos fenómenos parecen en principio caóticos, pero mediante el modelo de Feigenbaum puede descubrirse en ellos una regularidad que estaba oculta.

Ejemplo 2) La iteración es un proceso por el partimos del número 16 y vamos dividiéndolo por 2 en forma iterativa, con lo cual obtendremos sucesivos resultados que son: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, etc., El conjunto de todos estos resultados se llama “órbita” del número 16, que había sido nuestro número de partida. Esta serie orbital es ostensiblemente predecible, o si se quiere hay un orden evidente: los sucesivos números van adquiriendo valores decrecientes, ya que cada nuevo orbital resulta ser la mitad del orbital anterior. Pero también existen las orbitas como la de la función ““ la cual pertenece al grupo de los números irracionales y es un evento no aleatorio, a nuestro entender, la auténtica perplejidad pasaría por comprobar el hipotético caso donde una serie comienza con una secuencia caótica de números, y en determinado momento se transforma en una serie ordenada, por ejemplo, decreciente de tres en tres decimales hasta llegar a cero (del caos al orden). O al revés, donde la serie comienza ordenadamente y de repente se inicia otra serie que es percibida como azarosa (del orden al caos). Estos cambios serían verdaderamente sorprendentes, y son los cambios que verificamos en los fenómenos naturales, de aquí que no puedan trazarse comparaciones del tipo que estamos examinando entre series matemáticas y fenómenos naturales.

Dos modelos de universo.- El siglo XX ha sido testigo de dos modelos teóricos del universo: la teoría determinista por un lado, y la teoría del caos por el otro.

a) La teoría determinista está representada por Newton, Laplace y otros pensadores del siglo 17 en adelante, y nuestro siglo encontró en Einstein un digno representante de esta orientación. Uno de los voceros más autorizados de la misma es el matemático René Thom, un persistente crítico de la teoría del caos, y de Prigogine en particular.

Según el determinismo, el universo funciona como un reloj, donde no existe lugar para el azar y donde todo está determinado inexorablemente por las eternas leyes de la naturaleza. Esto implica la posibilidad de poder predecir cualquier situación B, conociendo la situación anterior A y las leyes naturales que rigen el proceso que va desde A hasta B.

Desde ya, hay casos donde no son posibles las predicciones, sobre todo cuando incursionamos en el territorio de lo infinitamente pequeño de las partículas sub-atómicas, pero esto no ocurre porque en la realidad reine el azar, sino simplemente porque aún no hemos descubierto las leyes que rigen esos procesos. Los deterministas reemplazan así la resignación por la ignorancia, es decir, no se resignan a aceptar el azar en lo real, y lo consideran como el producto de nuestro desconocimiento de las causas naturales. De hecho, muchas veces en la vida diaria, cuando no podemos saber a qué se debe tal o cual fenómeno, solemos adjudicarlo al azar, cuando en realidad, según los deterministas, tal desconocimiento sólo se debe a nuestros aún limitados conocimientos.

Un ejemplo típico es el tiro de una moneda. Si es verdad que, conociendo las condiciones iniciales del proceso (la moneda mientras la sostengo en la mano antes de tirarla), y conociendo las leyes físicas que rigen dicho proceso (la ley de la gravitación, los coeficientes aerodinámicos, etc.), entonces deberíamos poder predecir con absoluta certeza si la moneda caerá cara o caerá cruz. Thom, en su calidad de representante del determinismo, sostiene que si los físicos no pueden prever el resultado cara o el resultado cruz con seguridad total, no es porque ello sea imposible, sino porque el experimento sería muy difícil y costoso, ya que la previsión es teóricamente posible si el investigador controlara en forma lo suficientemente precisa las condiciones iniciales del lanzamiento.

b) Para la teoría del caos, esta previsión exacta es incluso teóricamente imposible. Al decir de Prigogine, como ocurre en un sistema dinámico inestable la condición inicial de la moneda que saldrá "cara" puede ser tan cercana como se quiera a la condición inicial de la moneda que saldrá "cruz", e incluso igual, pero sin embargo llegan a un final diferente. Esto es así porque el sistema evoluciona por zonas de incertidumbre donde no reinan las leyes eternas de la física, ni siquiera concebibles por una supercomputadora que pudiese calcular todas etapas del movimiento de la moneda desde que es revoleada hasta que llega al piso. La visión determinista del mundo queda así derrumbada, ya que revela que el azar forma efectivamente parte de la realidad física.

La teoría del caos encuentra su principal representante en la figura del belga Ilya Prigogine, Premio Nobel de Química del año 1977 por sus trabajos sobre la termodinámica de los sistemas alejados del equilibrio. La teoría del caos plantea que el mundo no sigue el modelo del reloj, previsible y determinado, sino que tiene aspectos caóticos: el observador no es quien crea la inestabilidad o la imprevisibilidad con su ignorancia: ellas existen de por sí. Los sistemas estables, como la órbita de la tierra alrededor del sol, son la excepción: la mayoría son inestables, siendo un ejemplo típico el clima. Podemos prever un eclipse o la aparición de un cometa con siglos de antelación, pero no el clima de la próxima semana. Ello es así porque depende de un enorme conjunto de circunstancias inciertas, que determinan por ejemplo que cualquier pequeña variación en un punto del planeta, genere en los próximos días o semanas un efecto considerable en el otro extremo de la tierra.

La teoría del caos: Prigogine la teoría del caos que, en lo esencial, sostiene que la realidad es una "mezcla" de desorden y orden, y que el universo funciona de tal modo que del caos nacen nuevas estructuras, llamadas estructuras "disipativas".

En relación con las ideas de orden y caos, en principio y más allá de las respuestas de Prigogine, pueden plantearse varios interrogantes, entre los que pueden mencionarse los siguientes:

a) ¿Por qué en el universo hay orden en vez de caos?

b) ¿Por qué en el universo hay caos en vez de orden?

c) ¿Hay un orden oculto tras el caos aparente?

d) ¿Hay un caos oculto tras el aparente orden?

e) ¿Cómo del orden se pasa al caos?

f) ¿Cómo del caos se pasa al orden?

g) ¿Qué clase de interrogantes busca responder la teoría del caos?

Los dos primeros seguramente no, porque, a pesar de su denominación, la teoría del caos sostiene que en el universo impera tanto el caos como el orden. Por lo demás, se trata de preguntas más filosóficas que científicas, en la medida en que pertenecen a la misma familia de preguntas del tipo ¿por qué la realidad existe en vez de no existir? Las dos preguntas siguientes no revisten una importancia nuclear dentro de la teoría del caos, pero sí las dos últimas. Para la teoría del caos, los procesos de la realidad atraviesan etapas de caos y etapas de orden, y busca no solamente realizar descripciones detalladas del estado caótico y del estado de orden, sino también y sobre todo establecer bajo qué condiciones se pasa de uno a otro.

Bibliografía

Pablo Cazau Lic en Psicología y Prof de Enseñanza Media y Superior en Psicología Buenos Aires, Marzo 1995

1) Cazau Pablo, "Introducción a la investigación en ciencias sociales", Buenos Aires, Rundinuskín Editores, 1991, página 72.

2) Watzlawick P, Beavin J y Jackson D, "Teoría de la comunicación humana", Barcelona, Herder, 1981, 2° edición, páginas 59-149-151-250).

3) Sorman Guy, Los verdaderos pensadores del siglo XX.

4) Enciclopedia Temática Guiness, Barcelona, Folio, 1994, página 23.

5) Reportaje a Ilya Prigogine (Clarín, 10-12-89).

6) Reportaje a Alvin Toffler (La Nación, 27-11-86).

7) Reportaje a Ilya Prigogine (La Nación, 27-10-91)

8) Horstein L, Azar y determinismo. El psicoanálisis y la historia, Bs As., Página 12, 20-10-94.

9) Horstein L, El cristal y el humo. Temporalidad, determinación y azar, Bs As, Página 12, 22

“La dinámica es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos en relación con las causas que los producen. Abarca la dinámica de los sólidos, la dinámica de los líquidos (hidrodinámica) y la dinámica de los gases. Estas dos últimas partes se llaman, en conjunto, dinámica de los fluidos.”